Republicko takmicenje iz matematike 2002, zadaci

		Средње школе (задаци)
		Девето републичко такмичење из математике Републике Српске, БиХ 2002.
		Организатори и учесници:
Математика Архимед бр. 2 ... решења ...		Удружење математичара Републике Српске Природно-математички факултет Бања Лука, 27. 4. 2002. Мр Видан Говедарица, Мирослав Тремл, Филип Морић
		Први разред: Татјана Вучић, Гимназија Бања Лука; Вера Јотановић, Гимназија Бања Лука; Горан Гвоздић, Електротехничка школа Бања Лука; Сузана Књечанин, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Сања Недић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Игор Мајкић, Електротехничка школа Бања Лука; Зоран Николић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Момчило Ковач, СШЦ Србиње; Јелена Пјано, СШЦ Србиње; Борислав Лаловић, СШЦ Србиње; Сузана Тановић, СШЦ Србиње; Сања Дедијер, СШЦ Билећа; Владимир Елез, СШЦ Србиње; Миодраг Матрак, СТШ Требиње; Ненад Челиковић, Гимназија Шамац; Марина Бјелошевић, Гимназија Добој; Милен Миоданић, Гимназија Дервента; Јован Пухало, ТШ «Михајло Пупин» Бијељина; Вања Бишановић, Гимназија «Ф. Вишњић» Бијељина; Александра Цвјетковић, ССШ «Михајло Петровић Алас» Угљевик.
		Други разред: Белма Туран, Гимназија Бања Лука; Данијела Симетић, Гимназија Бања Лука; Момчило Мишљеноивћ, Гимназија Бања Лука; Верица Маливојевић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Амра Аличковић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Сања Богдановић, Техничка школа Бања Лука; Сузана Глигорић, Електротехничка школа Бања Лука; Милан Латиновић, Електротехничка школа Бања Лука; Александар Млађеновић, СШЦ Србиње; Станислава Станковић, СШЦ Србиње; Младен Елез, СШЦ Србиње; Борко Топаловић, СШЦ Србиње; Срђан Старовић, СШЦ Србиње; Дајана Радовић, СШЦ Србиње; Милан Калајџић, СШЦ Србиње; Драган Божановић, Гимназија Шамац; Милијана Миоданић, Гимназија Дервента; Мрђа Наташа, Гимназија Дервента; Бојан Марић, ТШ «Михајло Пупин» Бијељина; Андријана Бублић, СШЦ Милићи.
		Трећи разред: Димитрије Чвокић, Гимназија Бања Лука; Божидар Шикањић, Гимназија Бања Лука; Љиљана Јовановић, Гимназија Бања Лука; Драган Лалић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Данко Марин, Гимназија Приједор; Милош Митрић, СШЦ Шипово; Дијана Вуковић, Електротехничка школа Приједор; Милорад Капетановић, Гимназија «П. Кочић» Нови Град; Бојан Комленовић, СШЦ Србиње; Ана Ковачевић, СШЦ Србиње; Маја Шаренац, Гимназија Љубиње; Сњежана Вилотић, СШЦ Србиње; Хелена Марић, СШЦ Србиње; Бојана Благојевић, Гимназија Добој; Миланка Јанковић, Гимназија Добој; Гвозден Нешковић, Добој; Рајка Тутњевић, Економска школа Добој; Милован Петковић, СШЦ Милићи; Срђан Абаџић, Гимназија «Ф. Вишњић» Бијељина; Владимир Љубојевић, Гимназија «Ф. Вишњић» Вијељина; Срђан Кецман, ТШ «Михајло Пупин» Бијељина.
		Четврти разред: Славко Брдар, Гимназија Бања Лука; Милош Петровић, Гимназија Приједор; Јања Милић, Гимназија Мркоњић Град; Младен Зец, Електротехничка школа Бања Лука; Александар Станић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Јелена Николић, СМШ «Ј. Дучић» Теслић; Игор Чеко, Електротехничка школа Бања Лука; Срђан Секулић, МСШ «Никола Тесла» Козарска Дубица; Бранислав Пекез, Гимназија Мркоњић Град; Ивана Михајловић, СШЦ Србиње; Синиша Комлен, Гимназија Требиње; Јелена Остојић, СШЦ Србиње; Ивана Ђорђевић, СШЦ Србиње; Јелена Мргуд, СШЦ Србиње; Роса Дракулић, СШЦ Србиње; Јелена Дејановић, Гимназија Добој; Владимир Петровић, Гимназија Дервента; Љиљана Божић, Гимназија Добој; Драган Давидовић, ТШ «Михајло Пупин» Бијељина; Дарко Савић, СШЦ «Милорад Влачић» Власеница; Ивана Петровић, Гимназија «Ф. Вишњић» Бијељина.
		1. разред:
1.		Ако за реалне бројеве x, y, y важи доказати да су они међусобно једнаки.
2.		На страници BC једнакокраког троугла ABC (AC = BC) дата је тачка D (D¹C) таква да је AD² = BD×BC. Доказати да је AD = AB.
3.		Доказати да не постоји природан број n такав да је број 2ⁿ + n² дељив са 2002.
4.		Нека је S = {-2, -1, 0, 1, 2 } и нека је у Декартовом координатном систему означено на произвољан начин 17 тачака из скупа S´S. Доказати да постоје три означене тачке A, B, C такве да је B средиште дужи AC.
		2. разред:
1.		Доказати да за a>0 и 0<b<1 вреди .
2.		Нека су D, E редом средишта страница AB и AC троугла ABC и M пресјечна тачка симетрале угла BAC са страницом BC. Доказати да вреди (а) Ако је четвороугао ADME тетиван онда је AD×AE = MD×ME. (б) Ако је AD×AE = MD×ME тада је четвороугао ADME тетиван или је ромб.
3.		Доказати да је број 0,а₁ а₂ а₃... ирационалан, где је: a_n=1 ако је број простих делитеља броја n паран, односно a_n=0 ако је број простих делитеља броја n непаран.
4.		У простору је дато коначно много равни. Доказати да се могу одабрати двије тачке које се налазе са различитих страна сваке од тих равни.
		3. разред:
1.		Једнакостранични троугао ABC је уписан у кружницу k. На страницама AC и AB узете су тачке M и N редом, тако да је AM=2MC и AN=NB. Полуправа MN сијече кружницу k у тачки P. Доказати да је .
2.		Нека су x, y, z позитивни реални бројеви такви да је xyz=x+y+z+2. Доказати неједнакост: .
3.		Дат је скуп S={1, 2, …, n}. Доказати да је укупан број уређених тројки (A,B,C) подскупова скупа S таквих да је AÍBÍC и једнак . (Са \|X\| је означен број елемената скупа X.)
4.		За природан број n означимо са j(n) број природних бројева који нису већи од n и који су релативно прости са n. Наћи све природне бројеве n за које j(n)\|n.
		4. разред:
1.		Нека су D, E редом средишта страница BC и AC троугла ABC и O, S редом центри описане и уписане кружнице. Доказати да тачке D, E, O, S припадају истој кружници ако и само ако је AC+BC=2AB.
2.		Нека су x₁, x₂ , ..., x_n бројеви из интервала (0,p/2) такви да је . Доказати да је .
3.		Исти као за трећи разред.
4.		Исти као за трећи разред.

Средње школе (задаци)

Девето републичко такмичење из математике Републике Српске, БиХ 2002.

Удружење математичара Републике Српске Природно-математички факултет Бања Лука, 27. 4. 2002.

Девето републичко такмичење из математике
Републике Српске, БиХ 2002.

Удружење математичара Републике Српске
Природно-математички факултет Бања Лука, 27. 4. 2002.