Облици Универзума: Десет могућности

Математика

Садржај:

1. део

2. део

Током већег дела антике, људи који су размишљали о облицима света су претпостављали да живе на огромној равној плочи, која је, може бити, понегде неравна.

   Легенда каже да је Аристотел, током четвртог века пре нове ере, посматрао брод који нестаје иза хоризонта, прво труп, затим једра, па јарбол. Брод, опазио је, није постајао све мањи и мањи нестајући у ништавилу. Он је потонуо иза хоризонта. Његов закључак је био да Земља мора бити округла (подржан претходним спекулацијама изведеним из посматрања и дедукције Питагорејаца) и то је био једно од највећих интелектуалних достигнућа свих времена.

   Током протеклих миленијума, открили смо многе друге тајне наше планете, наше галаксије и универзума. Али је фундаментално питање остало без одговора. Какав је облик универзума унутар којег ми станујемо?

   Срећом, недавна посматрања астронома почињу да погађају облик просторног Универзума, или бар границе широког опсега могућности. Један тип облика, који се зове еуклидска 3-многострукост, назире се као први кандидат. Запањујуће је да математичари доказују да постоји само 18 еуклидских 3-многострукости и међу њима само десет су могући кандидати за Универзум.

   Али, тополошки говорећи, површина крофне, тзв. торус, није исто што и сфера, односно површина лопте. Нема начина да се моделира једно у друго без резања и љепљења.

   Постоје многе површине које су тополошки различите од наведене две. На пример, можемо додати ручке торусу. Свака ручка креира нову рупу. Тако, торус, површина са једном ручком има једну рупу, док дво-ручка површина има две. Тополошки, број тих ручки дефинише површину. Било које две површи са различитим бројем ручки су различите. Већ са таквом информацијом можемо генерисати бесконачан број различитих површи.

   Све ове површине називамо 2-многострукости и све оне деле одређене особине. У околини било које тачке на овим површинама постоји круг тачака. Тај круг може бити веома мали и незнатно савијен, али његова егзистенција нам каже да је, локално, та површина дво-димензионална.

   Таква дефиниција може звучати технички, али ми на њу рачунамо свакодневно. Са наше тачке гледишта, на површини, Земља изгледа равна. Локално, површина Земље је дводимензионална – јер се свака тачка на њеној површини може затворити (окружити) кружницом. Када бисмо могли изрезати само ту локалну слику, било би разумно веровати да је Земља једна бесконачна раван, сфера, торус, или било која од безбројних површи са више ручки.

   Неке од поменутих тополошких облика је тешко разумети, чак и за топологе. Да би их лакше визуелизовали тополози су развили технике упрошћавања.

   Можемо пратити траг дво-димензионалне бубе која хода по површини торуса посматрањем кретања бубе по квадрату. Сваки пут када буба досегне горњу ивицу квадрата, преместићемо одговарајућу тачку на доњу ивицу квадрата. Сваки пут када буба дође до десне ивице квадрата, пребацићемо је на одговарајућу тачку на левој страни квадрата.

   Тај начин визуализирања торуса има две предности. Пре свега, ми можемо пратити траг активности бубе, то јест сместити дво-димензионално кретање бубе по површини торуса у три-димензионални простор савијеног квадрата. Друго, раван има особине еуклидске геометрије. У еуклидској геометрији важи аксиом паралелности, да свака права и тачка ван те праве одређују јединствену паралелу. Затим да је збир углова троугла увек једнак 180 степени. Ове тврдње нису увек тачне у другим геометријама (сферне и хиперболичке геометрије ћемо разматрати касије). Међутим, зато што је квадрат узет из еуклидске геометрије, можемо ту геометрију дати торусу. Кажемо да је торус еуклидска 2-многострукост.

   Међутим, не можемо узети било који четвороугао за основни домен. Када лепимо једну ивицу за другу оне морају бити исте дужине. Не желимо да истежемо или смањујемо ивице током љепљења, јер би то покварило еуклидске особине геометрије добијене површине.