Regionalno takmicenje iz matematike za osnovne skole 2002

		Основне школе
Математика		Регионално такмичење из математике Република Српска, 2002.
		VII РАЗРЕД
Задатак 1.		Ако четвороцифрени број напишемо обрнутим редом цифара, нови четвороцифрени број биће девет пута већи. Који четвороцифрени број има то својство?
Рјешење 1.		Нека је тражени четвороцифрени број. По услову задатка имамо Очигледно је a=1, јер би за a>1 нови број био петоцифрен. Дакле Како се дјелимични производ завршава цифром 1, то је . Сада имамо што можемо записати на сљедећи начин: или послије сређивања, Како је c цифра, ова једнакост је могућа само ако је b=0, па је c=8. Дакле тражени број је 1089.
Задатак 2.		Дат је полином:
		а) Раставити P(x) на просте чиниоце; б) Доказати да је P(x) дјељиво са 48, ако је x природан број.
Рјешење 2.		a) = =. b) Ако је непаран природан број, тада су x -1, x+1, x +3 три узастопна парна броја, па их можемо означити са Тада добијамо: . Како су три узастопна природна броја, један од њих мора бити дељив бројем 2 и један мора бити дјељив бројем 3. Због тога је што је и требало доказати.
Задатак 3.		У правоуглом троуглу дужина хипотенузе је 4 cm, а мјерни бројеви оштрих углова односе се као 2:1. Израчунај дужину висине тог троугла на хипотенузу.
Рјешење 3.		Нека су α и β мјерни бројеви оштрих углова правоуглог троугла и α > β. По услову задатка то јест па је , Дакле, тај троугао је половина једнакостраничног троугла са страницом дужине 4cm, па је дужина катета наспрам угла од 30° 2cm, а наспрам угла од 60° . Површина тог троугла P = Како је добијамо
Задатак 4.		Ако су остаци дјељења броја a редом бројевима 3, 5, 7, доказати да је број дјељив са 105.
Рјешење 4.		Ако је , онда је . Тада је =, што је и требало доказати.
		VIII РАЗРЕД
Задатак 1.		Горан је ушао у продавницу с намјером да купи бицикл и планирао је да потроши новца који је добио од родитеља. При куповини сазна да је бицикл појефтинио за 10%. Горан узме бицикл, части трговца са 5% од остатка и остане му још 76 KM. Колико је новца понио Горан?
Рјешење 1.		Ако означава износ новца у KM који је имао Горан, тада је планирао да потроши KM. Због снижења цијене за 10% он је платио бицикл KM. Частио је трговца са и на крају му је остало 76 KM. Овом стању одговара једначина: ++76. Рјешење ове једначине је 320. Дакле, Горан је понио 320 KM.
Задатак 2.		Одреди обим правоуглог троугла ABC коме је површина 54 cm², а дужине страница повезује релација 2b=c+a, гдје је c дужина хипотенузе, a и b дужине катета.
Рјешење 2.		По Питагориној теореми је . (1) Површина троугла је , па је . (2) Из једнакости добијамо Квадрирајући последњу једнакост, добијамо (3). Из (1) и (3) слиједи једнакост , тј. . Стављајући у посљедњу једнакост , добијамо . Сада се лако добија да је и . Према томе, обим троугла
Задатак 3.		Одредити све парове цијелих бројева који задовољавају једначину
Рјешење 3.		Лијеву страну једначине можемо написати у облику производа на сљедећи начин: Дакле, дату једначину можемо написати у облику =18 Цјелобројни чиниоци броја 18 су . Како је разлика очигледно дјељива бојем 3, то су могућа сљедећа четири случаја: Рјешења ових система су:
Задатак 4.		Правилна четворострана пирамида SABCD с врхом у чачки S пресјечена је са три равни од којих једна пролази тачкама S,A,M; друга тачкама S, A, N; и трећа тачкама S,M,N, где је тачка M средиште основне ивице , а N средиште од . Одреди запремину добијене тростране пирамиде SAMN, ако је основна ивица пирамиде SABCD 6 cm, а њена висина 10 cm.
Рјешење 4.		База тростране пирамиде има површину , гдје је a основна ивица четворостране пирамиде .
		За VII и VIII разред задатке припремио: Борислав Мићић, РПЗ Бањалука